数学 · 数基

检查进制换算的位值错误

你的步骤写得整齐，换出来的数还是错，又看不出错在哪里。

进制换算可以反向检查：把答案换回十进制，得不到原来的数，就说明某处滑了。这一课教三个检查，每一个都只花很短的时间。

最可靠的检查是什么？

展开检查：把每个数码乘以它的位值，再相加。b进制的位值从右起是1、b、b²、b³……

一个原创的例子：把97换成五进制。

从下往上读：97 = 342₅。展开：3 × 25 + 4 × 5 + 2 × 1 = 75 + 20 + 2 = 97，答案成立。

如果有同学把余数从上往下读，写成243₅。展开得到2 × 25 + 4 × 5 + 3 = 73，不是97，顺序错了。

另一位同学漏写了最后一个商3，只写成42₅。展开得到4 × 5 + 2 = 22，差得很远，位数检查也会立刻发现它只有2位。

第三种是展开时用错位值，例如用1、2、3、4代替1、5、25、125。所以展开之前，先在一行里写出该进制的各个次方。

**末位检查。**答案的个位数码，等于原数除以进制的余数。97 ÷ 5余2，所以答案必须以2结尾，324₅ 以4结尾，立刻判错。

二进制里更简单：原数是奇数，答案就以1结尾。

位数检查。 b进制的n位数，大小介于b的n − 1次方和b的n次方之间。97在25和125之间，所以五进制的答案有3位。

再举一个二进制的例子：45在32和64之间，所以有6位。

一位同学把45换成二进制，写成101110₂。检查：45是奇数，答案应该以1结尾，而它以0结尾，错了。

展开：32 + 8 + 4 + 2 = 46，比45多1。正确的连除是：45 ÷ 2 = 22余1，22 ÷ 2 = 11余0，11 ÷ 2 = 5余1，5 ÷ 2 = 2余1，2 ÷ 2 = 1余0，1 ÷ 2 = 0余1。

从下往上读是101101₂。展开：32 + 8 + 4 + 1 = 45。这位同学读余数时，把最右边的两个数码读反了。

一位同学把150换成八进制，写成262₈。用两种检查判断对错，并写出正确答案。

答案

展开：2 × 64 + 6 × 8 + 2 = 128 + 48 + 2 = 178，不是150，所以错了。

末位检查：150 ÷ 8 = 18余6，答案应以6结尾，而262₈ 以2结尾。

正确的连除：150 ÷ 8 = 18余6，18 ÷ 8 = 2余2，2 ÷ 8 = 0余2。从下往上读是226₈。检查：128 + 16 + 6 = 150。

做进制练习题，每一题都配一个展开检查。错题记录与试卷错误复盘可以帮你看出自己最常犯哪一类错。

想让老师看着你的书写找出错误，可以看一对一线上数学补习。

把答案展开换回十进制：每个数码乘以它的位值再相加。得到原来的数，换算就对了。对SPM会出现的大小，这一步不到一分钟。

连除法先得到的是个位，所以第一个余数是最右边的数码，要从下往上读。从上往下读，整个数就倒过来了。

b进制只用0到b − 1。五进制只有0、1、2、3、4，所以2053₅ 不可能存在。发现非法数码，就能马上断定有错。

用。二进制的位值是1、2、4、8、16……数码只有0和1。展开的做法相同，而末位检查更简单：奇数的二进制一定以1结尾。

如果方法练熟了，进制换算还是会错，一对一数学课可以让老师一行一行读你的书写，指出位值是在哪一步滑掉的。