选坐标法还是向量法，看题目的措辞就行，理由写一句话。坐标适合方程和面积，向量适合比例、平行线，以及给字母不给数字的题目。
这一课是不止一种解法的几何问题的第一课，属于坐标几何。
什么措辞指向什么方法？
| 题目要求 | 方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 直线方程、斜率、面积 | 坐标 | 可以直接由数字得出 |
| 把线段按比例分开的点 | 两者皆可 | 分点公式或位置向量 |
| 证明共线或平行 | 向量 | 一个向量是另一个的倍数 |
| 给出 OA = a、OB = b | 向量 | 数据是字母，不是数字 |
例题：同一道题，两种做法
已知 A(−1, 2) 和 B(5, 8)。(a) 求 AB 上满足 AP : PB = 1 : 2 的点 P。(b) 求经过 P 且垂直于 AB 的直线方程。
用坐标法： P = ((2 × (−1) + 1 × 5) ÷ 3, (2 × 2 + 1 × 8) ÷ 3) = (1, 4)。
用向量法： AB = (6, 6)，所以 P = A + ⅓AB = (−1, 2) + (2, 2) = (1, 4)。
(b) 要求方程。AB 的斜率是 6 ÷ 6 = 1，所以垂直线的斜率是 −1。直线是 y − 4 = −(x − 1)，即 x + y = 5。检查：1 + 4 = 5。
范例理由：“我用坐标法，因为 (b) 要求直线方程，需要斜率和一个点。”
会丢分的错误
常见的失误是先用向量，又悄悄换回坐标，却没有交代。两种记号混在一起，阅卷的人看不懂。
| 做法 | 解题的一行 | 问题 |
|---|---|---|
| 混用 | AB = (6, 6)，所以 AB 的斜率是 6 | 把向量 (6, 6) 当成一个数字 |
| 一致 | AB = (6, 6)，所以斜率 = 6 ÷ 6 = 1 | 向量只用来读出这一步 |
向量 (6, 6) 的斜率不是 6。一开始就选定一种方法，一直用它的记号；要换方法，就明确写出来。
自我检查
请为每道题选择坐标法或向量法，并写出理由。(a) 已知两点，求经过这两点的直线方程。(b) 已知 OP = 2a + 4b，OQ = a + 2b，证明 O、P、Q 共线。(c) 已知三角形的三个顶点，求面积。
答案
(a) 坐标法，因为要求的是方程，需要斜率和一个点。
(b) 向量法，因为数据是字母，没有坐标可用。OP = 2(a + 2b) = 2OQ，所以 OP 是 OQ 的倍数，O、P、Q 共线。
(c) 坐标法，因为面积可以直接由顶点得出。
接下来学什么
接着读用限制条件检验代数交点，然后做几何问题练习题。
应用题结构工作表 (英文)能帮你找出题目的关键词。想要老师一对一问你每一步的理由，可以看线上一对一附加数学补习。