坐标几何的证明有三个部分：先写要证明什么，再用坐标算出来，最后写一句结论。图形可以帮你想思路，但不算证明的一部分。
这一课属于不止一种解法的几何问题，工具来自斜率、中点与长度的综合运用。
为什么不能相信图形？
出题的人画图只是为了显示大概的布局，不是给你量的。看起来相等的两条边可能不等，看起来是 90° 的角也可能不是。
所以论证要靠坐标。写出“AB² = …”和“BC² = …”，比较的是数字，不是印象。
例题一：等腰直角三角形
点是 A(1, 0)、B(4, 3)、C(1, 6)。证明三角形 ABC 是等腰直角三角形。
目标。 两条边相等，并且在 B 处成直角。
计算。 AB² = (4 − 1)² + (3 − 0)² = 9 + 9 = 18。BC² = (1 − 4)² + (6 − 3)² = 9 + 9 = 18。AC² = (1 − 1)² + (6 − 0)² = 36。
结论。 AB = BC，所以三角形是等腰的。另外 AB² + BC² = 18 + 18 = 36 = AC²，由勾股定理的逆定理，B 处的角是 90°。
例题二：三点共线
证明 P(−3, 4)、Q(0, 2)、R(6, −2) 在同一条直线上。
PQ 的斜率 = (2 − 4) ÷ (0 + 3) = −2/3。QR 的斜率 = (−2 − 2) ÷ (6 − 0) = −4/6 = −2/3。
两个斜率相等，而且两条线段都包含 Q，所以 P、Q、R 共线。
例题三：平行四边形
点是 A(1, 0)、B(7, 1)、C(9, 5)、D(3, 4)。证明 ABCD 是平行四边形。
AC 的中点是 (5, 2.5)。BD 的中点是 ((7 + 3) ÷ 2, (1 + 4) ÷ 2) = (5, 2.5)。
两条对角线有相同的中点，所以互相平分，而对角线互相平分的四边形是平行四边形。
会丢分的错误
下面这张表，对照了只靠图形的说法和完整的答案。
| 较弱的答案 | 完整的答案 |
|---|---|
| “从图上看，AB 好像等于 BC。” | “AB² = 18，BC² = 18，所以 AB = BC。” |
| “斜率相同。” | “PQ 的斜率 = −2/3，QR 的斜率 = −2/3，Q 是公共点，所以 P、Q、R 共线。” |
| 只有计算，没有最后一句。 | 最后一句话写出所证明的性质。 |
自我检查
点是 P(1, 1)、Q(5, 3)、R(3, 7)。证明角 PQR 是直角，并求三角形 PQR 的面积。
答案
PQ 的斜率 = (3 − 1) ÷ (5 − 1) = 2/4 = 1/2。QR 的斜率 = (7 − 3) ÷ (3 − 5) = 4 ÷ (−2) = −2。
乘积是 (1/2)(−2) = −1，所以 PQ 垂直于 QR，角 PQR = 90°。
PQ = √(16 + 4) = √20，QR = √(4 + 16) = √20。面积 = 1/2 × √20 × √20 = 1/2 × 20 = 10 平方单位。
接下来学什么
在综合几何练习题里练习选对工具，或者看看怎样在直线与曲线相切时求参数。
想要老师一对一读你写的论证，指出哪里丢分，可以看线上一对一附加数学补习。论点与证据修订台 (英文)也能帮你检查论证写得完不完整。