直线与曲线相切，表示两者只有一个公共点。曲线是二次曲线时，联立后的二次方程有一个重根，所以判别式等于零。
这一课属于不止一种解法的几何问题，用到二次函数的判别式和微分的梯度概念。
路线一：判别式
曲线是 y = x² − 6x + 10，直线是 y = 2x + k。直线与曲线相切于一点，求 k。
- 令两式相等：x² − 6x + 10 = 2x + k。
- 全部移到一边：x² − 8x + (10 − k) = 0。
- 只有一个切点，表示 b² − 4ac = 0，即 (−8)² − 4(1)(10 − k) = 0。
- 化简：64 − 40 + 4k = 0，所以 4k = −24，k = −6。
10 − k 的括号很重要，漏掉括号是这类题目最常见的失误。
路线二：梯度
曲线的梯度是 dy/dx = 2x − 6，直线的梯度是 2。在切点，两个梯度相等。
令 2x − 6 = 2，得 x = 4。曲线上 y = 16 − 24 + 10 = 2。直线经过 (4, 2)，所以 2 = 2(4) + k，得 k = −6。
两条路线得到同一个答案，这就是检查。考试时间够的话，可以用一条路线验算另一条。
参数在斜率里的情况
现在取直线 y = mx + 2 和曲线 y = x² + 4x + 6。求使直线与曲线相切的 m 值。
令两式相等：x² + 4x + 6 = mx + 2，即 x² + (4 − m)x + 4 = 0。判别式是 (4 − m)² − 4(1)(4) = 0，所以 (4 − m)² = 16。
于是 4 − m = 4 或 4 − m = −4，得 m = 0 或 m = 8。两个都对：过 (0, 2) 的两条直线各自与曲线相切，切点分别在 x = −2 和 x = 2。
会丢分的错误
看到“相切于一点”，有人会把判别式设成大于零，其实那是两个交点的条件。
| 措辞 | 公共点的个数 | 条件 |
|---|---|---|
| 直线与曲线相交于两点 | 2 | b² − 4ac > 0 |
| 直线与曲线相切 | 1 | b² − 4ac = 0 |
| 直线与曲线不相交 | 0 | b² − 4ac < 0 |
先读措辞，再按这张表选条件。
自我检查
直线 y = 3x + k 与曲线 y = x² − x + 5 相切。求 k，并求切点。
答案
令两式相等：x² − x + 5 = 3x + k，即 x² − 4x + (5 − k) = 0。
判别式：16 − 4(5 − k) = 0，所以 16 − 20 + 4k = 0，k = 1。
k = 1 时方程是 x² − 4x + 4 = 0，x = 2。于是 y = 4 − 2 + 5 = 7。用直线检查：y = 6 + 1 = 7。切点是 (2, 7)。
接下来学什么
接着读用限制条件检验代数交点，然后做综合几何练习题。
想要老师一对一出新的切线题，看你怎样选方法，可以看线上一对一附加数学补习。