等比数列的每一项，都是前一项乘以同一个数 r。第 n 项是 T_n = ar^(n−1)，前 n 项的和是 S_n = a(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)。
这一课属于数列，结构和等差数列的项与和很像，只是加法换成了乘法。
a、r、n 分别是什么？
- a：首项。
- r：公比。用任何一项除以前一项就得到。
- n：你要求的那一项的位置。
先把这三个数写下来，再用“第二项 ÷ 第一项”和“第三项 ÷ 第二项”核对 r。
例题：求一项和一个总和
这是一道原创例题。等比数列的首项是 4，公比是 3。求 T₆ 和 S₆。
T₆ = 4 × 3⁵ = 4 × 243 = 972。
S₆ = 4 × (3⁶ − 1) ÷ (3 − 1) = 4 × 728 ÷ 2 = 1 456。
用加法核对：4 + 12 + 36 + 108 + 324 + 972 = 1 456。两个结果一致。
最容易丢分的失误
常见的失误是指数写成 n，而不是 n − 1，得到 T₆ = 4 × 3⁶ = 2 916。因为 n = 6，这样写看起来很自然。
| 步骤 | 错误做法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| r 的指数 | 6 | 5 |
| T₆ | 4 × 729 | 4 × 243 |
| 结果 | 2 916 | 972 |
检验方法是代入 n = 1。错误的指数给出 T₁ = 4 × 3 = 12，那其实是第二项。正确的指数给出 4 × 3⁰ = 4，刚好是首项。
已知两项，怎样求公比和首项？
设 T₃ = 18，T₆ = 486。
- 两式相除，把 a 消去：T₆ ÷ T₃ = r³，因为两项之间隔了三次乘法。所以 r³ = 486 ÷ 18 = 27。
- 解出 r = 3。
- 代回 T₃ = ar² = 18，得 9a = 18，所以 a = 2。
- 核对：T₆ = 2 × 3⁵ = 486。吻合。
等差数列是两项相减，等比数列是两项相除。项数的差，在这里变成了指数。
公比小于 1 的情况
设 a = 8，r = 1/2。求 S₄。
用 r < 1 的写法：S₄ = 8 × (1 − 1/16) ÷ (1 − 1/2) = 8 × 15/16 × 2 = 15。
用加法核对：8 + 4 + 2 + 1 = 15。
自我检测
等比数列的 a = 3，r = −2。求 T₅ 和 S₄。
答案
T₅ = 3 × (−2)⁴ = 3 × 16 = 48。
S₄ = 3 × [(−2)⁴ − 1] ÷ (−2 − 1) = 3 × 15 ÷ (−3) = −15。
用加法核对：3 − 6 + 12 − 24 = −15。括号不能省，因为 −2⁴ 会被算成 −16。
接下来学什么？
当公比是分数，总和不再一直变大，而是逐渐稳定下来。接着读无穷项和的条件，再用练习题练习两种数列。
想让老师在新题上看你写的第一行式子，可以看线上一对一附加数学补习。