这八道题对应数列一章的四课。每一题的解答都从写出类型，以及 a、d 或 r 和 n 的值开始。
题目
1. 等差数列是 4, 9, 14, …。求 T₁₄ 和 S₁₄。
答案
a = 4，d = 5，n = 14。
T₁₄ = 4 + 13 × 5 = 69。
S₁₄ = 14/2 × (4 + 69) = 7 × 73 = 511。
2. 等差数列中，T₄ = 14，T₉ = 34。求 a 和 d，再求 S₁₂。
答案
T₉ − T₄ = 5d，所以 34 − 14 = 5d，d = 4。
T₄ = a + 3d = 14，所以 a + 12 = 14，a = 2。
S₁₂ = 12/2 × [2(2) + 11(4)] = 6 × 48 = 288。
核对：T₉ = 2 + 8 × 4 = 34。
3. 等比数列是 3, 6, 12, …。求 T₇ 和 S₇。
答案
a = 3，r = 2，n = 7。
T₇ = 3 × 2⁶ = 3 × 64 = 192。
S₇ = 3 × (2⁷ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 127 = 381。
用加法核对：3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381。
4. 等比数列中，T₂ = 12，T₅ = 324。求 r 和 a，再求 S₄。
答案
T₅ ÷ T₂ = r³，所以 r³ = 324 ÷ 12 = 27，r = 3。
T₂ = ar = 12，所以 a = 4。
S₄ = 4 × (3⁴ − 1) ÷ (3 − 1) = 4 × 80 ÷ 2 = 160。
核对：4 + 12 + 36 + 108 = 160。
5. 求等比级数 27 + 9 + 3 + … 的无穷项和。
答案
r = 9 ÷ 27 = 1/3，|1/3| < 1，所以无穷项和存在。
S∞ = 27 ÷ (1 − 1/3) = 27 × 3/2 = 40.5。
6. 等比级数的首项是 10，第二项是 5k。(a) 求使无穷项和存在的 k 的范围。(b) 当 k = 1.5 时，求无穷项和。
答案
(a) r = 5k ÷ 10 = k/2。条件是 −1 < k/2 < 1，所以 −2 < k < 2。
(b) k = 1.5 时 r = 0.75。S∞ = 10 ÷ (1 − 0.75) = 10 ÷ 0.25 = 40。
7. 小敏一月存 RM200，之后每个月比上个月多存 RM15。求她到十二月一共存了多少。
答案
每月加同一个数，所以是等差数列，a = 200，d = 15，n = 12。
S₁₂ = 12/2 × [2(200) + 11(15)] = 6 × 565 = RM3 390。
核对：十二月是 T₁₂ = 200 + 165 = 365，6 × (200 + 365) = 3 390。
8. 一池水草现在覆盖 10 m²，每周增长 20%。(a) 求 3 周后的面积。(b) 求最少需要几个整周，面积才会超过 30 m²。
答案
增长 20% 就是乘以 1.2，所以是等比数列，a = 10，r = 1.2。“现在”是 T₁，“3 周后”是 T₄。
(a) T₄ = 10 × 1.2³ = 10 × 1.728 = 17.28 m²。
(b) 解 10 × 1.2ⁿ > 30，即 1.2ⁿ > 3。取对数：n > log 3 ÷ log 1.2 = 6.02。
核对：6 周后 10 × 1.2⁶ = 29.86，仍低于 30。7 周后 10 × 1.2⁷ = 35.83，超过 30。所以是 7 周。
做错了怎么办？
| 题号 | 要复习的技能 |
|---|---|
| 1 和 2 | 等差数列的项与和 |
| 3 和 4 | 等比数列的项与和 |
| 5 和 6 | 无穷项和的条件 |
| 7 和 8 | 把存款与增长翻译成数列 |
用限时练习生成器继续练习，用错题记录追踪失误。想让老师检查你的解题过程，可以看线上一对一附加数学补习。