等差数列的每一项，都是前一项加上同一个数 d。第 n 项是 T_n = a + (n − 1)d，前 n 项的和是 S_n = n/2 × [2a + (n − 1)d]。
这一课属于数列。如果你不确定手上是哪一种数列，先回到那一页看总览。
a、d、n 分别是什么？
- a：首项。
- d：公差，每一步加上的同一个数。
- n：你要求的那一项的位置。
用公式之前，先把这三个数写下来。a、d 或 n 取错一个，后面的步骤就全部跟着错。
例题：求一项和一个总和
这是一道原创例题。等差数列的首项是 5，公差是 3。求 T₂₀ 和 S₂₀。
T₂₀ = 5 + (20 − 1) × 3 = 5 + 57 = 62。
S₂₀ 用首项加末项：S₂₀ = 20/2 × (5 + 62) = 10 × 67 = 670。
用另一条公式核对：S₂₀ = 10 × [2(5) + 19(3)] = 10 × (10 + 57) = 670。两个结果一致。
最容易丢分的失误
常见的失误是把 d 乘以 n，而不是 n − 1，得到 T₂₀ = 5 + 20 × 3 = 65。步骤看起来很整齐，答案又很接近，所以难以察觉。
| 步骤 | 错误做法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 加了几个 d | 20 个 | 19 个 |
| T₂₀ | 5 + 60 | 5 + 57 |
| 结果 | 65 | 62 |
最快的检验是代入 n = 1。T₁ 应该等于 a。错误的公式给出 5 + 3 = 8，比首项多了一个 d，显然不对。
已知两项，怎样求首项和公差？
设 T₄ = 19，T₁₁ = 54。
- 两式相减，把 a 消去：T₁₁ − T₄ = 7d，所以 54 − 19 = 7d。
- 解出 d = 5。
- 代回 T₄ = a + 3d = 19，得 a + 15 = 19，所以 a = 4。
- 用另一项核对：T₁₁ = 4 + 10 × 5 = 54。吻合。
两个项数相差 11 − 4 = 7，就是两项之间隔了 7 个 d。记住这一点，相减的步骤就不会错。
公差是负数的情况
设 a = 20，d = −4。求 S₈，并求第几项首次等于零。
S₈ = 8/2 × [2(20) + 7(−4)] = 4 × (40 − 28) = 48。
令 20 + (n − 1)(−4) = 0，得 n − 1 = 5，所以 n = 6。第 6 项是 0，之后的项都是负数，总和开始变小。
自我检测
等差数列的首项是 3，公差是 7。求最小的 n，使 T_n 大于 150。
答案
T_n = 3 + (n − 1) × 7 = 7n − 4。
解 7n − 4 > 150，得 7n > 154，所以 n > 22。
n = 22 时 T₂₂ = 150，不大于 150。所以最小的整数 n 是 23。
核对：T₂₃ = 7(23) − 4 = 157，大于 150。
接下来学什么？
等比数列是把“加”换成“乘”，公式里会出现指数。接着读等比数列的项与和，再用练习题检验两种数列。
想让老师在新题上检查你的 a、d、n，可以看线上一对一附加数学补习。