这八道题跟着三角形的解法的课程顺序排，从选定理开始，一直做到两个三角形和三维题。
先写出自己的解答，再打开答案。长度和面积取三位有效数字，角度取一位小数。
题目
1. 下面每个三角形，起手该用哪一条定理？
- (a) a = 8，b = 5，C = 70°
- (b) A = 50°，B = 60°，a = 9
- (c) a = 4，b = 6，c = 8
- (d) A = 40°，a = 7，b = 9
答案
- (a) SAS，用余弦定理。
- (b) 两个角和一条边，用正弦定理。
- (c) SSS，用余弦定理。
- (d) 两条边和其中一条的对角，用正弦定理，并检查模棱两可的情形。
2. 三角形 ABC 中，AB = 7 cm，AC = 12 cm，A = 120°。求 BC。
答案
角夹在两条已知边之间，用余弦定理。BC² = 7² + 12² − 2(7)(12) cos 120° = 193 − 168(−0.5) = 193 + 84 = 277。
BC = √277 = 16.6 cm。钝角的余弦是负数，所以边变长了，结果合理。
3. 三角形 ABC 中，A = 48°，B = 67°，a = 13 cm。求 b。
答案
a 对着 A，所以 (48°, 13 cm) 是已知的一对。b ÷ sin 67° = 13 ÷ sin 48°。
b = 13 × 0.9205 ÷ 0.7431 = 16.1 cm。
4. 三角形的三边是 6 cm、9 cm、11 cm。求最大的角。
答案
最大的角对着最长的边 11 cm。cos C = (6² + 9² − 11²) ÷ (2 × 6 × 9) = (36 + 81 − 121) ÷ 108 = −4 ÷ 108 = −0.0370。
C = 92.1°。余弦是负数，说明这是钝角。
5. 三角形 ABC 中，A = 28°，a = 7 cm，b = 12 cm。求角 B 的可能值。
答案
sin B = 12 sin 28° ÷ 7 = 5.634 ÷ 7 = 0.8048，所以 B = 53.6°，或 180° − 53.6° = 126.4°。
检验：28° + 126.4° = 154.4° 小于 180°，两个都成立。B = 53.6° 或 126.4°。
6. 三角形 ABC 中，A = 35°，a = 5 cm，b = 11 cm。可以画出几个三角形？
答案
sin B = 11 sin 35° ÷ 5 = 6.309 ÷ 5 = 1.262，大于 1。没有哪个角的正弦会大于 1，所以没有三角形。同样，a = 5 小于 b sin A = 6.31。
7. 三角形 ABC 中，AB = 14 cm，A = 52°，B = 63°。求面积。
答案
角 C = 180° − 52° − 63° = 65°。正弦定理：BC ÷ sin 52° = 14 ÷ sin 65°，所以 BC = 14 × 0.7880 ÷ 0.9063 = 12.17 cm。
AB 和 BC 夹着角 B = 63°，所以面积 = ½ × 14 × 12.17 × sin 63° = 85.19 × 0.8910 = 75.9 cm²。
8. A、B 在平地上，AB = 60 m，垂直的塔 PT 的底部是 P。角 PAB = 50°，角 PBA = 70°，从 A 看 T 的仰角是 25°。求塔的高度。
答案
地面三角形 ABP：角 APB = 180° − 50° − 70° = 60°。AP ÷ sin 70° = 60 ÷ sin 60°，所以 AP = 60 × 0.9397 ÷ 0.8660 = 65.11 m。
垂直三角形 APT：PT = AP tan 25° = 65.11 × 0.4663 = 30.4 m。
做错了怎么办？
第 1、2 题选错定理：回去读选择正弦还是余弦定理。第 5、6 题漏了答案：读模棱两可的正弦定理情形。
第 7 题面积算错，读已知角不是夹角时求面积。第 8 题卡住，读三维的三角形应用题。
用错题记录追踪失误，准备好了就用限时练习生成器试一次限时练习。想让老师检查你的解题过程，可以看线上一对一附加数学补习。