三角形的面积是 ½ab sin C，但前提是 C 是 a 和 b 之间的夹角。已知的角在别处时，要先补出缺少的信息。
这一课属于三角形的解法，用到选择正弦或余弦定理里的正弦定理。
为什么需要夹角？
公式 ½ab sin C 其实是 ½ × 底 × 高。以 a 为底，对面顶点的高是 b sin C，因为 b 和 C 构成一个带有这条高的直角三角形。
只有 C 夹在 a 和 b 之间，才能这样做。换成别的角，b sin(角) 就不是底上方的高了。
例题一：先补出缺少的边
这是一道原创例题。三角形 PQR 中，PQ = 12 cm，P = 55°，Q = 65°。求面积。
两个已知的角在 PQ 的两端，所以 PQ 和另外两条边的夹角并不是直接给出的。先补出缺少的信息。
- 角 R = 180° − 55° − 65° = 60°。
- 正弦定理：PR ÷ sin 65° = 12 ÷ sin 60°，所以 PR = 12 × 0.9063 ÷ 0.8660 = 12.56 cm。
- PQ 和 PR 夹着角 P = 55°，所以面积 = ½ × 12 × 12.56 × sin 55° = 75.35 × 0.8192 = 61.7 cm²。
例题二：用高核对同一个面积
从 R 向 PQ 作垂线。在 P 处的直角三角形里，高 h = PR sin 55° = 12.56 × 0.8192 = 10.29 cm。
面积 = ½ × 12 × 10.29 = 61.7 cm²，和前面相同。两条路线得出一致的结果，是很有力的核对。
最容易丢分的失误
常见的失误是把已知的角，和附近的任意两条边搭在一起。以例题一为例，有人写 ½ × 12 × 12.56 × sin 65°，用的是 Q 的角，但 Q 并不夹在 PQ 和 PR 之间。
| 步骤 | 错误做法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 选两条边 | PQ 和 PR | PQ 和 PR |
| 选角 | 65°（角 Q） | 55°（角 P，夹在它们之间） |
| 结果 | 68.3 cm² | 61.7 cm² |
检验只要五秒钟：用手指按住你选的两条边，确认所用的角是它们相交的那个顶点。
题目直接问高的时候
有时题目直接问某个顶点到一条边的垂直长度。那段长度就是高，用正弦比可以求出。例题一里，R 到 PQ 的垂直长度是 10.29 cm。
如果高已经给出，就不要多绕路：面积 = ½ × 底 × 高，高要垂直于底。检查单位，到最后才取近似值。
自我检测
三角形 ABC 中，AB = 10 cm，A = 70°，B = 50°。求面积。
答案
角 C = 180° − 70° − 50° = 60°。
正弦定理：AC ÷ sin 50° = 10 ÷ sin 60°，所以 AC = 10 × 0.7660 ÷ 0.8660 = 8.845 cm。
AB 和 AC 夹着角 A = 70°，所以面积 = ½ × 10 × 8.845 × sin 70° = 44.23 × 0.9397 = 41.6 cm²。
接下来学什么？
面积题常常出现在更大的图形里。接着读三维的三角形应用题，学会先选出一个平面三角形。用应用题结构工作表 (英文)可以先整理长的图形题。
想让老师陪你做这类题目，可以看线上一对一附加数学补习。