三维的三角形题，其实是几个平面三角形叠在一起。你要做的，是把它们一个一个单独画出来，再按顺序解。
这一课属于三角形的解法，用到正弦定理和直角三角形的 sin、cos、tan。
怎样从图里取出平面三角形？
每次都照这四步做。
- 把地面重画成一个平面三角形，标出杆或塔的底部。
- 把垂直的平面画成一个直角三角形，立在一条地面线上。
- 把每个已知的长度和角，写进对应的三角形。
- 先解已知数据够用的那个三角形，再把求出的长度用在下一个三角形。
仰角只属于垂直的三角形。地面上的角，例如角 PAB，属于水平的三角形。
例题：从两个点看一根旗杆
这是一道原创例题。旗杆 PT 垂直立在平地上，P 是底部，T 是顶端。A、B 在地面上，AB = 50 m，角 PAB = 45°，角 PBA = 70°，从 A 看 T 的仰角是 20°。求高度 PT。
第一步：地面三角形 ABP。 角 APB = 180° − 45° − 70° = 65°。AP 对着 B，AB 对着 P，所以用正弦定理：
AP ÷ sin 70° = 50 ÷ sin 65°
AP = 50 × 0.9397 ÷ 0.9063 = 51.84 m。
第二步：垂直三角形 APT。 这个三角形在 P 处是直角，A 处的仰角是 20°：
PT = AP × tan 20° = 51.84 × 0.3640 = 18.9 m。
最容易丢分的失误
常见的失误是把仰角放进地面三角形。一看到 20° 就写进三角形 ABP，三个角加起来就不是 180° 了。
| 步骤 | 错误做法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 20° 放在哪里 | 和地面的角一起放进 ABP | 放进垂直三角形 APT |
| ABP 的三个角 | 45°、70°、20°（和是 135°） | 45°、70°、65°（和是 180°） |
| 结果 | AP 是错的 | AP = 51.84 m，PT = 18.9 m |
自我检查很简单：每个平面三角形的三个角加起来必须是 180°。不是的话，就是有一个角放错了三角形。
如果题目问的是另一条长度呢？
题目也可能问 BT 的长度，或从 B 看 T 的仰角。做法一样，先解地面三角形，再用 B 处的垂直三角形。
求 BT：在 ABP 中 BP ÷ sin 45° = 50 ÷ sin 65°，所以 BP = 50 × 0.7071 ÷ 0.9063 = 39.01 m。然后 BT² = BP² + PT² = 39.01² + 18.87² = 1 877.9，BT = 43.3 m。从 B 看 T 的仰角 θ 满足 tan θ = 18.87 ÷ 39.01。
计算过程中多保留几位小数，最后一步才取近似值，答案才准确。
自我检测
A、B 在平地上，AB = 30 m。垂直的杆 PT 的底部是 P。角 PAB = 55°，角 PBA = 65°，从 A 看 T 的仰角是 25°。求 PT。
答案
角 APB = 180° − 55° − 65° = 60°。
AP ÷ sin 65° = 30 ÷ sin 60°，所以 AP = 30 × 0.9063 ÷ 0.8660 = 31.40 m。
PT = AP tan 25° = 31.40 × 0.4663 = 14.6 m。
接下来学什么？
做三角形解法练习题，把这个单元的技能都练一遍。应用题结构工作表 (英文)能帮你在计算之前，先把各个平面三角形整理出来。
想让老师陪你做三维的题目，可以看线上一对一附加数学补习。