附加数学 · 方程组

选择代入法还是消元法

两种方法都会，开头选错就得多算好几倍。

两个系数相同或互为相反数时，用消元法。某个未知数的系数是 1 或 −1 时，用代入法。选对了方法，计算里就不会出现分数。

这一课属于联立方程。这里只用一次方程，同样的习惯也适用于一次加非线性的联立方程。

两个问题的检验是什么？

开始计算之前，先问两个问题。

两者都不是，就把其中一个方程乘以某个数，造出相同的系数，再消元。

这是一组原创题。解 4x + 3y = 19 和 2x − 3y = 5。

y 的系数是 +3 和 −3，互为相反数。两式相加：6x = 24，所以 x = 4。再代入 4(4) + 3y = 19，得 y = 1。

核对：2(4) − 3(1) = 8 − 3 = 5。

在同一组方程上试试代入法。由第一个方程得 x = (19 − 3y) ÷ 4，代入第二个方程就出现分数，计算更重。答案相同，路却更长，出错的机会也更多。

解 y = 3x − 2 和 4x + 2y = 16。

第一个方程已经把 y 单独写出来，直接代入：4x + 2(3x − 2) = 16，所以 10x − 4 = 16，x = 2。再得 y = 3(2) − 2 = 4。

核对：4(2) + 2(4) = 8 + 8 = 16。

这里如果用消元法，要先把第一个方程整理成 3x − y = 2，再乘以 2。这样做是对的，但多出两步，代入法根本用不上。

常见的失误是先用课本上最先出现的方法，再拖着分数硬算下去。分数里一个符号滑掉，整道题就丢了。

开头慢一点，会在后面补回来。花十秒钟读系数，能省下一分钟的计算。

解 2x − y = 4 和 3x + 2y = 13。说明你会先选哪一种方法，以及为什么。

答案

第一个方程里 y 的系数是 −1，所以代入法很快：y = 2x − 4。代入第二个方程：3x + 2(2x − 4) = 13，得 7x − 8 = 13，所以 x = 3，y = 2。

消元法也行：把第一个方程乘以 2，得 4x − 2y = 8，再和第二个方程相加，得 7x = 21。两条路都得出 x = 3，y = 2。核对：2(3) − 2 = 4，3(3) + 2(2) = 13。

在应用题里，数学上合理的答案，在情境里也可能不成立。接着读在应用题里取舍不合理的答案。应用题结构工作表 (英文)能帮你先把方程列出来。

想让老师陪你练习选方法，可以看线上一对一附加数学补习。

两个方程里同一个未知数的系数相同或互为相反数，用消元法，直接加或减。某个未知数的系数是 1 或 −1，可以不带分数地单独写出来，用代入法。

把其中一个方程乘以适当的数，让某个未知数的系数相同，再用消元法。这比硬用代入法、拖着分数往下算要稳妥。

答案一样，但路更长。带着分数做代入，符号更容易出错。读系数的十秒钟，能省下一分钟的计算。

如果总是习惯先用同一种方法，遇到分数就出错，一对一的老师可以要求你每题先读系数，在新题上练到这一步成为习惯。