附加数学 · 三角函数

用恒等式化简三角式子

两边看起来差不多，却不知用哪条恒等式。

恒等式对每个角度都成立，所以可以用一边去替换另一边，把式子变简单。最有用的一条是 sin²θ + cos²θ = 1。

这一课属于三角函数单元。后面的指定区间内的方程，也要靠这里学到的改写。

需要记住哪些恒等式？

后面两条都来自第一条。把 sin²θ + cos²θ = 1 两边除以 cos²θ，就得到 tan²θ + 1 = sec²θ。

大多数题目都适用下面三步。

化简 (1 − cos²θ) ÷ (sin θ cos θ)。

把 1 − cos²θ 换成 sin²θ，分数变成 sin²θ ÷ (sin θ cos θ)。sin θ 是整个分子和整个分母共有的因子，约掉后得到 sin θ ÷ cos θ = tan θ。

化简 sin θ ÷ (1 + cos θ) + (1 + cos θ) ÷ sin θ。

用公分母 sin θ(1 + cos θ)：

[sin²θ + (1 + cos θ)²] ÷ [sin θ(1 + cos θ)]

展开括号：sin²θ + 1 + 2cos θ + cos²θ。因为 sin²θ + cos²θ = 1，分子变成 2 + 2cos θ = 2(1 + cos θ)。

分数是 2(1 + cos θ) ÷ [sin θ(1 + cos θ)]。(1 + cos θ) 是整个分子和分母共有的因子，所以结果是 2 ÷ sin θ = 2 cosec θ。

用 θ = 90° 检验：原式是 1 ÷ 1 + 1 ÷ 1 = 2，而 2 cosec 90° = 2，吻合。

常见的失误是把和里面的一项约掉。看 (1 + cos θ) ÷ cos θ，有人把 cos θ 上下约去写成 1，但 cos θ 只是分子的一部分。

代入检验：θ = 60° 时，(1 + 0.5) ÷ 0.5 = 3，而 sec 60° + 1 = 2 + 1 = 3，错误的答案 1 对不上。代一个数值，就能抓到这类失误。

化简 (cosec²θ − 1) tan²θ。

答案

用 1 + cot²θ = cosec²θ，得 cosec²θ − 1 = cot²θ。

于是 cot²θ × tan²θ = (1 ÷ tan²θ) × tan²θ = 1。

用 θ = 45° 检验：cosec²45° = 2，所以 (2 − 1) × 1 = 1。

恒等式放进方程里才真正发挥威力。接着读解指定区间内的三角方程，再用三角函数练习题测试整个单元。

想让老师陪你做恒等式的题目，可以看线上一对一附加数学补习。

恒等式对任何角度都成立，所以两边可以互相替换。方程只在某些角度成立，要把这些角度解出来。化简时用的是恒等式，不是方程。

sec θ = 1 ÷ cos θ，cosec θ = 1 ÷ sin θ，cot θ = 1 ÷ tan θ。记不住的时候，先把它们都换成 sin 和 cos，再去化简。

只能约掉整个分子和整个分母共有的因子。如果怀疑，就代入一个简单的角度，例如 45°，看看化简前后的值是否相同。

从比较复杂的那一边开始，化成和另一边一样。两边不要同时动，也不要把等式两边移来移去。

如果化简时总是靠猜，一对一的老师可以看着你选恒等式的过程，教你一个随手就能验证的办法。