要求两条线相交的点，就把交点的位置写两次，每条线一次。然后对比 a 和 b 的系数。
这一课建立在由两种写法求未知比例之上，两课都属于向量的依赖关系与比例推理。
题目给了我什么？
在三角形 OAB 中，OA = a，OB = b。M 在 OA 上，OM = (1/3)a，N 是 OB 的中点，所以 ON = (1/2)b。线 AN 与 BM 相交于 P。求 OP。
需要两个未知数，每条线一个。设 AP = λAN，BP = μBM。
完整的解答
路线一，沿 AN。 OP = OA + λAN。先求 AN = ON − OA = (1/2)b − a。所以 OP = a + λ((1/2)b − a) = (1 − λ)a + (λ/2)b。
路线二，沿 BM。 OP = OB + μBM。先求 BM = OM − OB = (1/3)a − b。所以 OP = b + μ((1/3)a − b) = (μ/3)a + (1 − μ)b。
a 和 b 不平行，所以可以对比系数。
- a：1 − λ = μ/3
- b：λ/2 = 1 − μ
由第二条得 λ = 2 − 2μ。代入第一条：1 − (2 − 2μ) = μ/3，所以 −1 + 2μ = μ/3，(5/3)μ = 1，得 μ = 3/5。于是 λ = 2 − 6/5 = 4/5。
现在 OP = (μ/3)a + (1 − μ)b = (1/5)a + (2/5)b。
沿两条线检验答案
在路线一里用 λ = 4/5：(1 − 4/5)a + (2/5)b = (1/5)a + (2/5)b，和路线二一致。
比例也随之得出。AP:PN = λ:(1 − λ) = 4/5 : 1/5，也就是 4:1。BP:PM = μ:(1 − μ) = 3/5 : 2/5，也就是 3:2。
会丢分的错误
常见的失误是两条线都用同一个字母。如果两条路线都用 λ，方程变成 1 − λ = λ/3 和 λ/2 = 1 − λ，没有共同的解，整个解题就垮了。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 未知数 | 两条线都用 λ | AN 用 λ，BM 用 μ |
| 方程 | 1 − λ = λ/3 和 λ/2 = 1 − λ | 1 − λ = μ/3 和 λ/2 = 1 − μ |
| 结果 | 没有唯一的解 | λ = 4/5，μ = 3/5 |
第二个失误是方向向量写错，例如把 AN 写成 a − (1/2)b。永远是终点减起点：AN = ON − OA。
自我检查
在三角形 OAB 中，OA = a，OB = b。M 是 OA 的中点，所以 OM = (1/2)a。N 在 OB 上，ON = (1/3)b。
线 AN 与 BM 相交于 P。求 OP。
答案
路线一，沿 AN：AN = (1/3)b − a，所以 OP = a + λ((1/3)b − a) = (1 − λ)a + (λ/3)b。
路线二，沿 BM：BM = (1/2)a − b，所以 OP = b + μ((1/2)a − b) = (μ/2)a + (1 − μ)b。
对比：1 − λ = μ/2，λ/3 = 1 − μ。由第二条得 λ = 3 − 3μ。则 1 − 3 + 3μ = μ/2，(5/2)μ = 2，μ = 4/5。于是 λ = 3 − 12/5 = 3/5。
OP = (2/5)a + (1/5)b。
用路线一检验：(1 − 3/5)a + (1/5)b = (2/5)a + (1/5)b，吻合。
接下来学什么
点也可以在线段之外。这正是检查外分比的符号的内容，也是这组课的最后一课。
想让老师帮你在新图形里选出两条路线，可以看线上一对一附加数学补习。应用题结构工作表 (英文)则给你一个整理长题目的版式。