如果同一个向量有两种写法，那么 a 的系数必须相等，b 的系数也必须相等。这样就得到两条方程，可以解出两个未知数。
这是向量的依赖关系与比例推理的第一课，会用到图形中的向量比例里的想法。
为什么系数可以对比？
a 和 b 方向不同，所以其中一个不是另一个的倍数。这样，xa + yb 要等于零，唯一的办法是 x = 0 并且 y = 0。
把等式两边的项都移到同一边，就是这种形式，所以可以逐项对比系数。如果 a、b 平行，这一步就不成立。
例题：既在 AB 上，又在过 O 的一条线上
已知 OA = a，OB = b，a 与 b 不平行。M 在 AB 上，并且 OM = μ(a + 2b)，μ 是未知的数。求比例 AM:MB。
路线一，沿 AB。 设 AM = λAB。则 OM = a + λ(b − a) = (1 − λ)a + λb。
路线二，题目给的写法。 OM = μa + 2μb。
对比系数。
- a 的系数：1 − λ = μ
- b 的系数：λ = 2μ
把第二条代入第一条：1 − 2μ = μ，所以 μ = 1/3，λ = 2/3。
AM = (2/3)AB，所以 MB = (1/3)AB，AM:MB = 2:1。
检验：OM = (1/3)a + (2/3)b。系数相加等于 1，所以 M 确实在 AB 上。
会丢分的错误
常见的失误是只写“λ = 2/3”就停笔，可是题目问的是比例。
| 步骤 | 不完整 | 完整 |
|---|---|---|
| 结果 | λ = 2/3 | λ = 2/3 |
| 解释 | 没有 | AM = (2/3)AB，MB = (1/3)AB |
| 答案 | “2/3” | AM:MB = 2:1 |
另一个失误是把 a 的系数和 b 的系数混在一起对比。a 和 b 的系数要分开对。
自我检查
OA = a，OB = b，a 与 b 不平行。M 在 AB 上，并且 OM = μ(3a + b)。求 AM:MB。
答案
路线一：OM = (1 − λ)a + λb。路线二：OM = 3μa + μb。
a 的系数：1 − λ = 3μ。b 的系数：λ = μ。所以 1 − λ = 3λ，得 λ = 1/4。
于是 AM = (1/4)AB，MB = (3/4)AB，所以 AM:MB = 1:3。
检验：OM = (3/4)a + (1/4)b，系数相加等于 1。
接下来学什么
下一课是在图形中分辨平行与共线，讲的是从图上的已知信息，能得出什么结论、不能得出什么结论。四课学完后，可以做综合练习题。
应用题结构工作表 (英文)能帮你在动笔前先把路线整理清楚。想让老师看着你选两条路线，可以看线上一对一附加数学补习。