图形可以暗示一条直线，但证明要靠向量关系。平行向量只说明方向，共线的点还必须有一个公共点。
这一课接在由两种写法求未知比例之后，建立在平行向量与共线的基本检验之上。
图能告诉我什么？
只能告诉你已给的向量关系所说的内容。题目里有三种说法，每一种需要的解题过程不同。
| 说法 | 意思 | 需要的过程 |
|---|---|---|
| AB 平行于 CD | 方向相同，可以是不同的线 | AB = k CD |
| A、B、C 共线 | 三点在同一条线上 | AB = k BC，B 是公共点 |
| AB = 2 CD | 平行，而且 AB 是 CD 的两倍长 | 题目已给，或用分量证明 |
例题：梯形
在梯形 OABC 中，OA = 4a，CB = 2a，OC = b，a 与 b 不平行。
CB 平行于 OA 吗？ CB = 2a，OA = 4a，所以 CB = (1/2)OA。是的，它们平行，CB 的长度是 OA 的一半。
O、A、B 共线吗？ 沿 A 到 O、再到 C、再到 B 的路线求 AB。
AB = AO + OC + CB = −4a + b + 2a = b − 2a
要共线，AB 必须是 OA = 4a 的倍数。但 AB 含有 b，而 b 不是 a 的倍数。所以 O、A、B 不共线。
注意这两个说法用的是同一张图。一个是对的，一个是错的，所以解题过程比草图的样子重要得多。
共线成立的例子
设 D 是一个点，OD = 6a。则 OD = (3/2)OA，所以向量 OD 与 OA 平行。两个向量都从 O 出发，O 就是公共点，所以 O、A、D 共线。
这就是区别：梯形的边平行但没有公共点，而这里有一个公共点。
会丢分的错误
写下“CB 平行于 OA，所以这些点共线”，是最常见的失误。平行只给出方向。
改正的办法是写一句包含三部分的话：关系、公共点、结论。对这个梯形，正确的说法是“CB = (1/2)OA，所以 CB 平行于 OA”，不能再多说。
自我检查
PQ = 3u，QR = 6u，ST = 6u。下面哪些结论可以得出：(a) P、Q、R 共线；(b) PQ 平行于 ST；(c) P、Q、S 共线？
答案
(a) 可以。QR = 2PQ，所以两个向量平行，而 Q 是公共点。所以 P、Q、R 共线。
(b) 可以。ST = 2PQ，所以两个向量平行。
(c) 不可以。已知的信息没有把 S 与直线 PQ 联系起来。ST 平行于 PQ，但 S 和 T 可能在另一条线上。要说共线，必须先有公共点。
这道题要你学会的是：每次都给出理由，并指出公共点。
接下来学什么
继续学用两条向量路线求内部交点，它需要用两条路线到达同一个点。然后用综合练习题混合练习四课的内容。
线上一对一附加数学补习里的老师，可以陪你检查写下的结论。应用题结构工作表 (英文)能帮你看出，丢分是出在过程还是措辞。