点 P 在直线 AB 上、却线段之外时，比例 AP:PB 仍然比较长度。向量 AP 与 PB 方向相反，所以其中一个要带负号。
这一课是向量的依赖关系与比例推理的最后一课，把图形中的向量比例里线段内部的方法延伸到线段之外。
外分点有什么不同？
以 AP:PB = 3:1 为例，分两种情形。如果 P 在 A 和 B 之间，AP 与 PB 方向相同。如果 P 在 B 的另一侧，AP 指向 B 并继续越过它，而 PB 则指回来。
所以外分的情形，AP = −3PB，因为长度比是 3:1，方向却相反。
例题：P 在 B 之外
OA = a，OB = b。P 在 AB 的延长线上、在 B 之外，AP:PB = 3:1。求 OP。
设 OP = p。用位置向量表示 AP = −3PB。
- AP = p − a，PB = b − p。
- 所以 p − a = −3(b − p) = −3b + 3p。
- 合并：−a + 3b = 2p。
- 所以 OP = −(1/2)a + (3/2)b。
符号检查：系数相加是 −1/2 + 3/2 = 1，所以 P 在直线 AB 上。a 的系数是负数，说明 P 在远离 A 的另一侧，也就是 B 之外。两项都和题目的措辞吻合。
同一个比例，线段之内
如果 P 在 A、B 之间，AP:PB = 3:1，则 AP = (3/4)AB，OP = a + (3/4)(b − a) = (1/4)a + (3/4)b。两个系数都是正数，而且小于 1。
用真实的坐标检验两种情形。设 a = (2, 0)，b = (6, 4)。
| 情形 | OP | AP | PB | 长度比 AP:PB |
|---|---|---|---|---|
| 内分 | (1/4)(2, 0) + (3/4)(6, 4) = (5, 3) | (3, 3) | (1, 1) | 3:1 |
| 外分 | −(1/2)(2, 0) + (3/2)(6, 4) = (8, 6) | (6, 6) | (−2, −2) | 3:1 |
外分的情形，AP = −3PB，因为 (6, 6) = −3 × (−2, −2)。长度比符合要求，方向则相反。
会丢分的错误
常见的失误是没看措辞，就套用内分的公式。答案看起来整整齐齐，点却放错了位置。
补救的办法是两秒钟的符号检查。画出线，标出 P，问自己答案里是否应该有一个负系数。
自我检查
Q 在 AB 的延长线上、在 A 之外，使 AQ:QB = 1:3。用 a 和 b 表示 OQ。
答案
设 AQ 的长度是 t，则 QB 的长度是 3t。Q 在 A 之外，所以 QB = QA + AB，AB 的长度是 3t − t = 2t。于是 AQ 是 AB 的一半，方向从 A 指向远离 B 的一侧。
OQ = OA − (1/2)AB = a − (1/2)(b − a) = (3/2)a − (1/2)b。
检验：QA 的长度是 (1/2)AB，QB 的长度是 (3/2)AB，比例是 1:3。负系数在 b 上，说明 Q 在远离 B 的一侧，也就是 A 之外。
接下来学什么
试试综合练习题，限时混合练习内分、外分、平行和交点的题目。限时练习生成器能帮你安排一次练习。
想让老师检查你的草图和符号，可以看线上一对一附加数学补习。错题记录能帮你找出一再出现的失误。