数学 · 未分组数据的离散度

求方差与标准差

公式里有平方、平均值和开方，顺序总是记错。

方差是各数值与平均值之差的平方的平均数，标准差是它的平方根。两者都量度数值离平均值有多远。

两个公式是什么？

方法	公式	适合的时候
偏差法	σ² = Σ(x − μ)² ÷ N	平均值是整数
Σx² 法	σ² = Σx² ÷ N − μ²	数值较大

标准差 σ = √(σ²)。两种方法得出相同的方差，正好可以互相核对。

平均值 = (4 + 6 + 8 + 10 + 12) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8。

偏差法。 偏差是 −4、−2、0、2、4。平方后是 16、4、0、4、16，加起来是 40。方差 = 40 ÷ 5 = 8。

Σx² 法。 各数的平方是 16、36、64、100、144，加起来是 360。然后 360 ÷ 5 − 8² = 72 − 64 = 8。两种方法一致。

标准差 = √8 = 2.83（保留两位小数）。

常见的错误，是在第二种方法里减去平均值，而不是平均值的平方：72 − 8 = 64。这样得到的方差是 64，比正确答案大了 8 倍。

检查很快。方差 64 意味着典型的偏离是 8，可是每个数值离平均值最多只有 4。标准差不可能超过最大的偏离，所以 8 是不可能的。

标准差 2.83 的意思是：这些数值离平均值 8，典型来说大约相差 2.83。标准差越小，数据越紧密。

标准差不会是负数。如果算出的方差是负数，就是 Σx² 法里的符号出错了，因为平均值的平方不可能超过平方的平均值。

求 2、3、5、6、9 的方差和标准差。

答案

平均值 = 25 ÷ 5 = 5。偏差：−3、−2、0、1、4。平方：9、4、0、1、16，加起来是 30。方差 = 30 ÷ 5 = 6。

用 Σx² 核对：4 + 9 + 25 + 36 + 81 = 155，所以 155 ÷ 5 − 25 = 31 − 25 = 6。标准差 = √6 = 2.45。

继续学习用中心与散布比较数据。如果平方和开方还常出错，可以试试代数步骤纠错训练器 (英文)。

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方差 σ² = Σ(x − μ)² ÷ N，也就是各数值与平均值之差的平方的平均数。等价的写法是 σ² = Σx² ÷ N − μ²。两者结果相同，选算术比较轻松的那一个。

标准差是方差的平方根，所以单位和数据相同。方差是 8，标准差约为 2.83。因为单位一致，标准差更容易解读。

各个偏差加起来等于零，因为正的和负的互相抵消。平方之后每一项都是正数，散布就不会被抵消。最后开方，又回到原来的单位。

平均值是整数时，偏差法比较稳妥。数值很大时，Σx² 法比较快，但平方要算得仔细。有时间的话，可以在短数列上用另一种方法核对。

如果公式背得出、算术却总是飘，一对一课上老师可以看着你的解题过程，帮你选一种较少出错的方法。