矩阵相加，是把相同位置的元素相加。矩阵相乘，是把第一个矩阵的每一行，和第二个矩阵的每一列配起来算。加法要求两个矩阵的阶相同，乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
怎样做矩阵加法？
先确认两个阶相同，再把对应元素相加。除此之外没有别的规则。
取A和B，阶都是2 × 2：
A = | 2 3 | B = | 5 0 |
| 1 4 | | −2 1 |A + B的元素是2 + 5 = 7、3 + 0 = 3、1 + (−2) = −1和4 + 1 = 5。所以A + B的第一行是(7, 3)，第二行是(−1, 5)。
怎样做矩阵乘法？
乘积的每个元素，来自第一个矩阵的一行和第二个矩阵的一列。对应相乘，再相加。
求AB时，第1行第1列的元素用A的第1行(2, 3)和B的第1列(5, −2)：
2 × 5 + 3 × (−2) = 10 − 6 = 4。
AB的四个元素如下：
| 位置 | 计算 | 值 |
|---|---|---|
| 第1行第1列 | 2(5) + 3(−2) | 4 |
| 第1行第2列 | 2(0) + 3(1) | 3 |
| 第2行第1列 | 1(5) + 4(−2) | −3 |
| 第2行第2列 | 1(0) + 4(1) | 4 |
所以AB的第一行是(4, 3)，第二行是(−3, 4)。
为什么顺序很重要？
用同一对矩阵来算BA。B的第1行是(5, 0)，第2行是(−2, 1)。
BA的第一行是(5(2) + 0(1), 5(3) + 0(4)) = (10, 15)，第二行是(−2(2) + 1(1), −2(3) + 1(4)) = (−3, −2)。
AB的两行是(4, 3)和(−3, 4)，BA的两行却是(10, 15)和(−3, −2)。它们是不同的矩阵，所以要保持题目里的顺序。
会丢分的错误
常见的失误，是像加法那样逐个元素相乘。这样会得到2 × 5 = 10、3 × 0 = 0、1 × (−2) = −2和4 × 1 = 4，也就是第一行(10, 0)、第二行(−2, 4)的矩阵。
| 错误做法 | 正确做法 | |
|---|---|---|
| 方法 | 相同位置互相乘 | 行乘列，再相加 |
| 第1行第1列 | 10 | 4 |
| 检查 | 没有检查阶 | A的列数 = B的行数 |
这个答案看起来很整齐，所以错误很难察觉。做任何乘积之前，先写出两个矩阵的阶，确认中间的两个数相同。
自我检测
C的两行是(1, 2)和(3, 0)，D的两行是(4, 1)和(2, 5)。求CD。
Answer
两个矩阵都是2 × 2，所以CD存在，阶为2 × 2。
第1行：1(4) + 2(2) = 8，以及1(1) + 2(5) = 11。
第2行：3(4) + 0(2) = 12，以及3(1) + 0(5) = 3。
CD的两行是(8, 11)和(12, 3)。
接下来学什么？
逆矩阵是靠乘法来定义的，所以接着学求二阶矩阵的逆矩阵。可以在二阶矩阵运算辅导器 (英文)里测试自己的矩阵，并把错误记进错题记录与试卷错误复盘。
如果想让老师在你写乘积时检查，可以了解线上一对一数学补习。