附加数学 · 弧度制与圆的度量

度与弧度的互换

你知道两种单位对得上，却总是乘错分数。

整个圆是 360°，也是 2π 弧度，所以 π 弧度等于 180°。换算时，乘上那个能把原来的单位约掉的分数。

这一课是圆的度量的起点。下一课弧长与扇形面积会用到弧度形式。

到底乘哪个分数？

方向	乘以	原因
度化成弧度	π ÷ 180	度的符号被约掉
弧度化成度	180 ÷ π	π 被约掉

换算完要做大小检查。1 弧度约 57°，所以 2.5 弧度应该是 140° 出头，而 108° 应该是 1 弧度多一点，不到 2 弧度。

把 108° 化成弧度。 乘 π ÷ 180：108 × π ÷ 180 = 3π/5。写成小数，3π/5 = 1.885 弧度（3 位小数）。

把 210° 化成弧度。 210 × π ÷ 180 = 7π/6。

把 2.5 弧度化成度。 乘 180 ÷ π：2.5 × 180 ÷ π = 143.2°（1 位小数）。

用大小检查最后一题：2 弧度约 114.6°，3 弧度约 171.9°，2.5 弧度刚好在两者之间，所以 143.2° 合理。

最常见的失误是把分数倒过来。还是用 108° 来看。

108° 不可能等于六千多弧度。养成习惯，问自己一句：这个答案放得进一整圈的 6.28 弧度吗？

把 315° 化成弧度（精确值），再把 1.3 弧度化成度（1 位小数）。

答案

315 × π ÷ 180 = 7π/4，所以答案是 7π/4 弧度。化成小数是 5.498，介于 3π/2 和 2π 之间，符合 270° 到 360° 之间的角。

1.3 × 180 ÷ π = 74.48，所以是 74.5°（1 位小数）。

应用题结构工作表 (英文)能帮你写下题目给出的每个条件，错题记录能看出你是不是一再把分数倒过来。想要老师一对一带你练，可以看线上一对一附加数学补习。

当圆上的弧长等于半径时，这段弧对着圆心的角就是 1 弧度。整个圆是 2π 弧度，所以 1 弧度约等于 57.3 度。这个单位由长度来定义，而不是把圆平均分割。

看题目要求。如果要精确值，就保留 π，例如 2π/5。如果要求小数或若干位有效数字，就用弧度模式的计算器，在最后一步才四舍五入。

化成弧度就乘 π ÷ 180，让度的符号约掉。化成度数就乘 180 ÷ π，让 π 约掉。再检查大小：小于 360° 的角，弧度必须小于约 6.28。

同一个数字在不同模式下，sin、cos、tan 的值不一样。例如 sin 1.2 在弧度模式约是 0.932，在度数模式约是 0.021。每次做三角题之前都要先看模式。

如果换算时总觉得是在猜，一对一的老师可以看你选哪个分数，并教你一个能发现错误的检查方法。