数学 · 全等、放大与组合变换

计算放大的比例因子

比例因子总是算出倒数，求面积时又不知要不要平方。

放大的比例因子 k 等于像的长度除以物的长度。长度乘以 k，面积乘以 k²。

怎样计算 k？

只需要一对对应的长度。像的长度放在上面，物的长度放在下面。

一个 8 厘米乘 6 厘米的长方形，放大成 12 厘米乘 9 厘米的长方形。

k = 12 ÷ 8 = 1.5。用另一条边核对：9 ÷ 6 = 1.5，两个结果相同。

物的面积是 8 × 6 = 48 平方厘米，像的面积是 12 × 9 = 108 平方厘米。

用 k² 核对：1.5² = 2.25，48 × 2.25 = 108，面积的比例因子吻合。

一条 15 厘米的线段缩小成 6 厘米。k = 6 ÷ 15 = 2/5，小于 1。

物上 50 平方厘米的面积，在像上变成 50 × (2/5)² = 50 × 4/25 = 8 平方厘米。

常见的错误是物除以像，把长方形的 k 算成 8 ÷ 12 = 2/3。算式看起来合理，但图形明明变大了，k 却小于 1。

自我检查是先比较大小：像比物大，k 就必须大于 1。另一个常见错误是面积只乘 k，不乘 k²。

一个三角形的底是 5 厘米，放大后底变成 8 厘米。物的面积是 20 平方厘米。求 k 和像的面积。

答案

k = 8 ÷ 5 = 1.6。

像的面积 = k² × 20 = 2.56 × 20 = 51.2 平方厘米。

检查：像比物大，所以 k 大于 1，面积增加的倍数比长度更大。

下一步是找出放大的中心，见寻找放大中心。你也可以用变换坐标工具 (英文) 测试坐标。

想让老师检查你的比值方向，可以看一对一线上数学补习。

取一对对应的长度，用像的长度除以物的长度。例如物长 8 厘米、像长 12 厘米，k = 12 ÷ 8 = 1.5。再用另一对对应的边核对，两个结果应该一样。

缩小时像比物小，所以 k 介于 0 和 1 之间。例如 15 厘米缩小成 6 厘米，k = 6 ÷ 15 = 2/5。k 大于 1 表示放大，小于 1 表示缩小。

面积由两个长度相乘得到，每个长度都乘 k，所以面积乘 k × k = k²。k = 3 时，长度变成 3 倍，面积变成 9 倍。

如果比例因子经常倒过来或面积算错，一对一数学课上，老师可以带你先判断图形变大还是变小，再决定 k 是大于 1 还是小于 1。