数学 · 为数据集选择适当的概括方式

极端值拉动平均值，不动中位数

数列里冒出一个特别大的数，平均值就不再代表典型的数值。

一个极端值会提高平均值，因为平均值用到每个数值的大小。它不会动中位数，因为中位数只看中间的位置。

例题：五天的销量

一个小摊五天卖出的茶是 12、13、14、15 和 16 杯。总和是 70，平均值是 14。中位数是中间的数，14。

第五天学校有活动，销量变成 46 杯，数据成了 12、13、14、15、46。

平均值从 14 移到 20，移动了 6。中位数一点也没动。

五天里有四天的销量在 12 到 15 之间。平均值 20 暗示典型的一天卖 20 杯，可是那四天没有一天是这样。

中位数 14 才很好地描述了典型的一天。46 是真实的数，所以要保留，并注明那是一次特别活动。好的答案会指出中位数是更公平的中心，并写出这个理由。

全距从 4 跳到 34。标准差也会大跳，因为 46 离平均值 20 很远，它的平方很大。

数据量大的时候，四分位数间距更能抵抗极端值。只有五个数的时候，它也会动：12、13、14、15、46 的四分位数是 Q1 = 12.5，Q3 = 30.5，四分位数间距从 3 升到 18。

所以数据很少时，可以说中位数不受极端值影响，但对散布不要下同样的断言。

用这条规则决定。数据比较均匀、没有极端值，平均值和标准差是好的选择。有极端值，就选中位数和四分位数间距。

选之前先看一看排好序的数列。可以用描述统计探索器 (英文)在自拟数据上练习这个选择。

分数 5、6、7、8、9 的平均值是 7，中位数是 7。最后一个分数改成 34。求新的平均值和中位数，并说明哪一个更能代表典型的分数。

答案

新数据是 5、6、7、8、34。总和是 60，平均值 = 60 ÷ 5 = 12。中位数仍是 7。

中位数更能代表典型的分数，因为五个分数中有四个在 8 分或以下，平均值 12 是被 34 这一个数拉高的。

想让老师追问你选摘要的理由，可以了解一对一线上数学补习。

极端值是离其他数据很远的数值。它可能是真实却罕见的数值，也可能是记录错误。要通过和其他数值比较来判断，这一章没有固定的判定规则。

平均值用到每个数值的大小，所以一个更大的数值会提高总和。中位数只用中间那个数的位置，把一端的数值变得更极端，并不会改变谁在中间。

没有理由就不要删。如果是记录错误，就更正或删除。如果是真实的数值，就保留，并选一个能应付它的摘要，例如中位数或四分位数间距，同时写明理由。

四分位数间距不受影响，因为它只取决于中间一半的数据。全距和标准差都会受影响，标准差因为有平方，反应特别强烈。

如果规则记得，却说不出理由，一对一课上老师可以给你新的数据，要你为自己选的摘要说明理由。