数学 · 变分

联变：两个量一起影响

题目说两个量一起变化，你不确定该怎样把它们合在一起。

如果 z 与 x 和 y 联变（joint variation），就写 z = kxy。一个常数 k 把 z 和另外两个量的乘积连在一起。

这一课接在解反变问题之后，属于变分单元。

联变和正变有什么不同？

正变只有一个量带动 z。联变是两个或更多个量一起带动 z，而且它们相乘。方法依然一样：先用 k 写出方程式，用一组数值求 k，再回答题目。

粉刷一面墙的费用 C 与墙的长度 l 和高度 h 联变。长 5 m、高 3 m 的墙费用是 RM270，求长 8 m、高 4 m 的墙的费用。

验算：面积从 15 m² 增加到 32 m²，是原来的 32 ÷ 15 倍，而 270 × 32 ÷ 15 = 576。

很多同学把“联”当成“一起”，于是写成 C = k(l + h)，再去求 k。

有一个快速测试能看出加法形式是错的。如果墙的高度变成两倍，长度不变，粉刷面积就变成两倍，费用也应该是两倍，而加法形式做不到。

V 与 r² 和 h 联变。当 r = 2、h = 6 时 V = 96，求 r = 3、h = 5 时的 V。

答案

写出 V = kr²h。代入 96 = k × 4 × 6 = 24k，得 k = 4。

当 r = 3、h = 5：V = 4 × 9 × 5 = 180。

用比例验算：r² 变成 9/4 倍，h 变成 5/6 倍，所以 V = 96 × 9/4 × 5/6 = 180。

下一课是把合变写成方程式，正变、反变和联变会出现在同一个句子里。然后用变分练习测试自己。如果解 k 的计算是弱点，可以试试代数步骤修复训练器 (英文)。

想让老师陪你一起做，可以看线上一对一数学补习。

意思是一个量与另外两个或更多个量的乘积成正变。如果 z 与 x 和 y 联变，那么 z = kxy。x 变成两倍，z 变成两倍；x 和 y 都变成两倍，z 就变成四倍。

不是。联变用的是乘积，不是和。写成 z = k(x + y) 会得出错误的方程式和错误的 k。“联变”这两个字就是乘法的信号。

可以。如果 V 与 r² 和 h 联变，就写成 V = kr²h。每个量的次方要和文字叙述完全一致。

如果两个变量一起出现就乱了阵脚，一对一数学课可以让老师先陪你从文字写出方程式，再代入数字。